Il paradosso di San Pietroburgo: intuito contro azzardo

I russi hanno sempre amato il gioco d’azzardo. Nella loro indole si muove una chiara volontà di rischio o di avventura che li porta a scommettere e ad affrontare sfide disperate. Lo testimonia Dostoevskij nel suo capolavoro Il giocatore. E non a caso un famoso paradosso logico e della teoria delle decisioni prende il nome di paradosso di San Pietroburgo.

Nella teoria della probabilità, il paradosso di San Pietroburgo descrive un gioco d’azzardo (probabilmente inventato in un casinò russo nel Settecento) basato su una variabile casuale con valore atteso infinito, ovvero con una vincita media di valore infinito.

In pratica, abbiamo a che fare con un gioco che, matematicamente, garantisce grandi vincite. Più si investe e più si gioca, e più è facile portarsi a casa una grossa somma. Eppure la ragione spinge l’uomo a investire solo una minima somma e a non sborsare grosse risorse, anche se il gioco paga proprio quando si gioca tanto.

Il paradosso di San Pietroburgo: tra casinò e matematica

Secondo alcuni storici, questo paradosso prende il nome dalla presentazione del problema da parte del matematico svizzero Daniel Bernoulli, nel 1738, presso l’accademia scientifica imperiale di San Pietroburgo. Secondo altre teorie a inventare il paradosso era stato il cugino di Daniel, ossia Nicolas Bernoulli, almeno vent’anni prima. C’è anche chi dice che il gioco era già noto in un famoso casinò di Pietroburgo da più di qualche anno.

Per gli studiosi di logica il paradosso di San Pietroburgo è il classico esempio in cui l’applicazione della teoria delle decisioni suggerisce una linea di condotta che nessun individuo ragionevole si sentirebbe di adottare. In pratica, in questo gioco notiamo il rifiuto intuitivo del giocatore a investire cifre importanti nell’azzardo. Ma è giusto? Dal punto di vista logico no. Dal punto di vista dell’intuito sì. Scopriamo perché… anzi, partiamo dalla soluzione.

La formulazione del paradosso di San Pietroburgo si basa sulla possibilità che il banco abbia risorse illimitate. Ma ciò è impossibile: le risorse del banco devono essere per forza limitate. E se il premio massimo cresce esponenzialmente, il valore medio cresce in modo logaritmico, cioè molto più lentamente. Per questo motivo, l’aspettativa di vincita diventa molto, molto più bassa rispetto al tetto massimo di vincita. L’intuito lo capisce. Invece la teoria delle probabilità ci suggerisce di giocare.

Il gioco del testa o croce

Il gioco d’azzardo implica una scommessa sul testa o croce dopo il lancio di una moneta. Il giocatore deve pagare una quota fissa di ingresso, diciamo cento rubli, per partecipare. A ogni lancio, deve versare altri cento rubli. Il giocatore vince quando esce croce. Se la croce esce al primo lancio, il giocatore vince quanto ha scommesso, cioè cento rubli. Ma la vincita raddoppia a ogni lancio successivo. In breve, si pagano cento rubli e si vince il doppio, il triplo, il quadruplo della puntata meno cento, se la moneta è stata lanciata due, tre, quattro volte dopo che è comparsa la croce la prima volta. Ogni volta che il giocatore vince, si riparte da zero. Al giocatore, quindi, conviene perdere tante volte, per poi vincere dopo molti lanci, e in questo modo ottenere un premio altissimo.

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Alla fine dei lanci si è quindi certi di incassare un premio. Ma bisogna capire quanto un giocatore è disposto a pagare per partecipare al gioco. Dal punto di vista matematico la somma diverge all’infinito. Cosa significa? Che in media ci si aspetta di vincere una somma infinita da questo gioco. Quindi, la logica del guadagno imporrebbe al giocatori di investire tutto ciò che ha per partecipare. Infatti anche pagando un miliardo di rubli per volta, alla lunga, dovrà capitare la volta di una vincita così alta da ripagare tutti i soldi persi o le vincite insignificanti.

Le probabilità di un vincita alta sono bassissime, ma esistono. Dopo ventimila lanci, le probabilità di vincere più di quanto si è investito sono otto. Otto su ventimila. Con un milione di giocate si arriverebbe a un undici probabilità di successo. Insomma, per vincere tanto bisognerebbe giocare per centinaia di migliaia o milioni di anni.

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Ecco perché nessuna persona ragionevole sarà disposta a pagare più di qualche unità per partecipare a questo gioco. Buttati cento, duecento o trecento rubli, ci si ferma. E qui nasce il paradosso detto di San Pietroburgo.