Perché cambiare conviene: il paradosso delle due buste

Immaginate di partecipare a un gioco a premi. Il conduttore del quiz vi mostra due buste apparentemente identiche ma di valore diverso, e vi chiede di sceglierne una. Dopo aver deciso quale scegliere, di solito il conduttore domanda al concorrente: “Vuoi cambiare la tua busta con l’altra?” Ebbene, la logica suggerisce che conviene sempre cambiare la propria scelta… Sapete perché? Abbiamo a che fare con il noto paradosso delle due buste…

Il paradosso delle due buste

Ogni paradosso è un potente stimolo per la riflessione. Ce ne sono di intuitivi e di controintuitivi, di matematici e di filosofici. Tra i paradossi logici che più intrigano la mente umana non possiamo non considerare il paradosso delle due buste.

L’intuizione ci porta a pensare che il guadagno atteso da uno scambio di buste all’ultimo momento dovrebbe essere quasi sempre nullo. Ma nella situazione specifica, in termini di logica, non possiamo affidarci con sicurezza al ragionamento né al calcolo. Entra in gioco la probabilità condizionata. Ecco perché il paradosso delle due buste piace così tanto ai matematici e ai logici: mette in evidenza tutti i problemi legati al concetto di equiprobabilità per eventi con cause sconosciute.

Come funziona il paradosso

A tendere celebre questo paradosso fu Martin Gardner nel suo libro Aha! Gotcha, anche se non parlava di buste ma di portafogli. Gardner era un famoso matematico e illusionista, statunitense.

Ma ripartiamo dall’inizio. In un ipotetico gioco a premi, il conduttore presenta al concorrente due buste chiuse, ciascuna contenente l’indicazione di un premio in denaro. Diciamo che in una cifra ci sono X euro e nell’altra il doppio, 2X euro. Il concorrente non immagina quale delle due contenga il premio maggiore. Sceglie la busta A. Poi il conduttore gli dà la possibilità di cambiare idea. Che cosa conviene fare? Rendiamo però il gioco più facile. Al concorrente viene concesso di aprire la busta. Ci trova dentro 1000 euro. Non sa se si tratta del premio X o di quello 2X. Ora cosa deve fare? Deve comunque cambiare?

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La logica ci dice che non c’è differenza nella scelta dell’una o dell’altra busta, prima dell’apertura. Sappiamo poi che la conoscenza del valore di una busta non aggiunge informazioni alla domanda se questo sia maggiore o minore dell’altro. La scelta è quindi totalmente libera e incondizionata. Per la teoria delle decisioni, conviene però che il concorrente scelga sempre l’altra busta. Vi pare strano?

Soluzione

In pratica, se nella busta che si sceglie di aprire per prima c’è il valore X, nell’altra busta sarà contenuto per forza un premio X/2 oppure 2X. Se è sfortunato, il concorrente, scegliendo la seconda busta, dimezzerebbe. Se è fortunato, raddoppierebbe la vincita. Ma fra la prima e la seconda possibilità c’è una differenza di valore. Se su 1000 euro ne perdo 500, la sconfitta è relativa. Se su 1000 euro ne vinco 2000, la vittoria è elevata.

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Fra le due opzioni ce n’è una che appare favorita rispetto all’altra: quella del raddoppio. Dunque la strategia più ragionevole sembrerebbe quella di considerare entrambe le opzioni equiprobabili, con probabilità 1/2 e 1/2. Ecco perché conviene tentare la sorte, e scegliere di cambiare la busta, vista la netta differenza tra possibile guadagno e possibile perdita.