Avevate mai sentito parlare del paradosso del compleanno? Nulla di esistenziale, state sereni. Si tratta di un problema legato alla teoria della probabilità definito nel 1939 da Richard von Mises, un matematico, ingegnere e accademico austriaco naturalizzato statunitense.
Il paradosso del compleanno
Richard von Miles è stato un importante teorico positivista. Viene ricordato come un autorevole scienziato e un rigoroso logico. Gli dobbiamo anche preziose intuizioni nel campo della meccanica dei fluidi. Ha compiuto studi fondamentali per l’aerodinamica, l’aeronautica e la logica pura. Ma la sua fama è soprattutto legata alla statistica e alla teoria della probabilità. Tutti lo conoscono, insomma, come il padre del paradosso del compleanno. Ma di cosa si tratta?
Secondo il paradosso del compleanno in un gruppo di persone, mettiamo composto da ventitré individui, la probabilità che almeno due soggetti compiano gli anni lo stesso giorno è largamente superiore a quanto potrebbe suggerire l’intuito. A partire da un calcolo statistico, in un gruppo di ventitré persone la probabilità tocca circa 0,51 (51%). Con trenta persone la probabilità supera 0,70 (70%). Con cinquanta persone la cifra è 0,97 (97%). Per essere certi che almeno due persone in un gruppo festeggino il compleanno nello stesso giorno, dobbiamo arrivare a trecentosessantasei individui (367 se si considera l’anno bisestile).
Senso comune e logica
Il paradosso del compleanno è interessante perché ci mostra come la logica e la matematica contraddicano spesso il senso comune. Non è strano pensare che bastino sole ventitré persone affinché si abbia una probabilità del 50% che almeno due di esse compiano gli anni nello stesso giorno?
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In realtà, lo scopo del paradosso non è quello di evidenziare una contraddizione logica, cioè un’antinomia. Il procedimento di calcolo vuole solo dimostrare che la verità matematica contraddice l’intuizione naturale. Molte persone, pur intuendo che tale probabilità possa crescere con la numerosità del gruppo, credono che questa crescita sia lenta, e che la coincidenza dei compleanni resti comunque poco probabile. In particolare sembra quasi assurdo che bastino cinquanta persone per avere una probabilità vicina al 100%.
Il calcolo del paradosso
Nello specifico il paradosso funziona così… La probabilità P(p) che ci siano almeno due persone appartenenti a un gruppo di p persone che compiano gli anni lo stesso giorno va calcolata con procedimento inverso. Cioè bisogna prima calcolare la probabilità P1(p) che ciò non accada.
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Il procedimento è, più o meno, il seguente: per ogni persona del gruppo, vi sono 364 casi su 365 in cui il compleanno di una seconda persona avvenga in un giorno diverso. Se si considera una terza persona, però, ci sono 363 casi su 365 in cui il soggetto compie gli anni in un giorno diverso dalle prime due persone. Dunque la probabilità del suo evento complementare, ovvero che esistano almeno due compleanni uguali, si alza. Il calcolo deve essere quindi fatto a coppie. E in ogni insieme, più la somma dei componenti è alta e più coppie ci sono.
Con solo tre persone (che chiameremo 1, 2 e 3), si ottengono infatti tre possibili coppie: 1 e 2, 1 e 3 e 2 e 3. Con quattro persone (1, 2, 3 e 4) si hanno invece sei coppie: 1 e 2, 1 e 3, 1 e 4, 2 e 3, 2 e 4 e 3 e 4. Con ventitré persone risultano esserci ben 253 diverse coppie! Ed ecco come diventa più facile pensare che almeno una di queste 253 coppie di persone sia nata lo stesso giorno dell’anno, su 365 possibili.
Il paradosso è stato applicato con successo negli anni della Seconda Guerra Mondiale in crittografia e nel dimensionamento del blocco da cifrare.
